Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = {\log _{\sqrt 2

Câu hỏi số 486410:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 3x\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\dfrac{x}{y}\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{4}\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486410

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng.

- Sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 3x\\ \Leftrightarrow xy - 2y + x - 2 - 3x = {\log _{\sqrt 2 }}\dfrac{{x + y}}{{xy}}\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {xy} \right) + xy = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + y} \right) + 2 + 2\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {xy} \right) + xy = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {2x + 2y} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 2 }}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln \sqrt 2 }} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( {xy} \right) = f\left( {2x + 2y} \right)\) nên \(xy = 2x + 2y \Leftrightarrow y\left( {x - 2} \right) = 2x \Leftrightarrow y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\,\,\left( {x \ne 2} \right)\)

Vì \(x,y > 0 \Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}x + 4y = x + \dfrac{{8x}}{{x - 2}} = x + 8 + \dfrac{{16}}{{x - 2}} = x - 2 + \dfrac{{16}}{{x - 2}} + 10\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{{16}}{{x - 2}}} + 10 = 2.4 + 10 = 18\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 2 = \dfrac{{16}}{{x - 2}} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 2\)).

\( \Rightarrow y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}} = \dfrac{{2.6}}{{6 - 2}} = 3\).

Vậy \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{3} = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.