Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), mặt bên \(SAC\) là tam giác cân
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), mặt bên \(SAC\) là tam giác cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) lần lượt tạo với đáy các góc \({60^0}\) và \({45^0}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sưu tầm nhóm Toán VD – VDC
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), có \(\Delta SAC\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\SH \subset \left( {SAC} \right),\,\,SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Kẻ \(HP \bot BC,\,\,HQ \bot AB\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HP\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHP} \right) \Rightarrow BC \bot SP\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SP \subset \left( {SBC} \right),\,\,SP \bot BC\\HP \subset \left( {ABC} \right),\,\,HP \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SP;HP} \right) = \angle SPH = {45^0}\).
Chứng minh tương tự ta có \(\angle SQH = {60^0}\)
Từ A kẻ đường thẳng d // BC, kẻ \(HK \bot d\). Nối \(SK\) và kẻ \(HI \bot HK\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot HK\\AK \bot SH\\HK \cap SH = H\\HK,\,SH \subset \left( {SHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AK \bot HI\).
Mà \(HI \bot SJ,\,\,AK \cap SK = K,\,\,AK,\,\,SK \subset \left( {SAK} \right)\) nên \(HI \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAK} \right) = HI} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC//AK\\AK \subset \left( {SAK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC//\left( {SAK} \right) \supset SA\).
\( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = d\left( {BC;\left( {SAK} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAK} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAK} \right)} \right) = 2HI = a\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{a}{2}\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC//HK\\HK \bot AK,\,\,HP \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow H,\,\,K,\,\,P\) thẳng hàng và \(\dfrac{{HP}}{{HK}} = \dfrac{{HC}}{{HA}} = 1\) \( \Rightarrow HK = HP\)
Đặt \(SH = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Tam giác \(SHP\) vuông tại \(H\) và có \(\angle SPH = {45^0}\) nên \(\Delta SHP\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow HP = HK = x\).
\(\Delta SHK\) vuông tại \(H\), \(HI \bot SK \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.SK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} \Rightarrow \dfrac{a}{2} = \dfrac{{{x^2}}}{{x\sqrt 2 }} \Rightarrow x = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Tam giác \(SHQ\) vuông tại H có \(\angle SQH = {60^0}\) \( \Rightarrow HQ = \dfrac{{SH}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\).
Lại có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên HP // AB, HQ // BC, mà H là trung điểm của AC nên HP. HQ là các đường trung bình của tam giác ABC.
\( \Rightarrow AB = 2x = a\sqrt 2 ,\,\,BC = \dfrac{{2x}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{18}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
