Cho bất phương trình \({\log _{3a}}11 + {\log _{\frac{1}{7}}}\left( {\sqrt {{x^2} + 3ax + 10} + 4} \right).{\log

Câu hỏi số 487069:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \({\log _{3a}}11 + {\log _{\frac{1}{7}}}\left( {\sqrt {{x^2} + 3ax + 10} + 4} \right).{\log _{3a}}\left( {{x^2} + 3ax + 12} \right) \ge 0\). Giá trị thực của tham số \(a\) để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 1;0} \right)\)

B. \(\left( {1;2} \right)\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487069

Giải chi tiết

Đặt \(m = 3a\) khi đó bất phương trình đã cho trở thành

\({\log _m}11 + {\log _{\frac{1}{7}}}\left( {\sqrt {{x^2} + mx + 10} + 4} \right).{\log _m}\left( {{x^2} + mx + 12} \right) \ge 0\) \(\left( 1 \right)\)

Điều kiện của bất phương trình là \(m > 0;m \ne 1;{x^2} + mx + 10 \ge 0\)

Ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - {{\log }_7}\left( {\sqrt {{x^2} + mx + 10} + 4} \right).{{\log }_{11}}\left( {{x^2} + mx + 12} \right)}}{{{{\log }_{11}}m}} \ge 0\) \(\left( 2 \right)\)

Đặt \(u = {x^2} + mx + 10;u \ge 0\)

+ Với \(0 < m < 1\). Ta có:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) = {\log _7}\left( {\sqrt u + 4} \right).{\log _{11}}\left( {u + 2} \right) \ge 1 = f\left( 9 \right)\) \(\left( 3 \right)\)

Vì \(f\left( u \right)\) là hàm tăng trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên từ \(\left( 3 \right)\) ta có

\(f\left( u \right) \ge f\left( 9 \right) \Leftrightarrow u \ge 9 \Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 \ge 0\) \(\left( 4 \right)\)

\(\left( 4 \right)\) vô số nghiệm vì \(\Delta = {m^2} - 4 < 0\) với \(\forall m \in \left( {0;1} \right)\).

Suy ra \(0 < m < 1\) không thỏa mãn bài toán.

+ Với \(m > 1\). Ta có:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) \le f\left( 9 \right) \Leftrightarrow 0 \le u \le 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + mx + 10 \ge 0\,\,\,\left( 5 \right)\\{x^2} + mx + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Xét \(\left( 6 \right)\), ta có \(\Delta = {m^2} - 4\).

\({m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2\) thì \(\left( 6 \right)\) vô nghiệm. Không thỏa bài toán.

\({m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2\) thì \(\left( 6 \right)\) có nghiệm là đoạn \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\), lúc này \(\left( 5 \right)\) nhận hơn \(1\) số của \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) làm nghiệm. Không thỏa bài toán.

\({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(\left( 6 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - 1\) và \(x = - 1\) thỏa mãn \(\left( 5 \right)\). Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = - 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.