Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

Câu 487239: Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

A. \( - 6\)

B. \(6\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 487239
Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

- Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).

- Chứng minh \(M\) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình \(y'' = 0\) tìm \(M\).

- Thay \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) tìm \(m\).

  • Đáp án : C
    (1) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) \( \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

    Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt.

    \( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - {m^2} + 1 > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\) (luôn đúng).

    Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).

    Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên \(M\) chính là điểm uốn của hàm số ban đầu.

    Ta có \(y'' = 2x - 2m = 0 \Leftrightarrow x = m\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}{m^3} - {m^3} + \left( {{m^2} - 1} \right)m = \dfrac{1}{3}{m^3} - m\).

    \( \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{1}{3}{m^3} - m} \right)\).

    \(M \in d \Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9 \Leftrightarrow {m^3} - 18m + 27 = 0\).

    Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(0\) (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba).

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com