Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
Câu 487239: Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
A. \( - 6\)
B. \(6\)
C. \(0\)
D. \(2\)
- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.
- Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).
- Chứng minh \(M\) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình \(y'' = 0\) tìm \(M\).
- Thay \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) tìm \(m\).
-
Đáp án : C(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) \( \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).
Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - {m^2} + 1 > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\) (luôn đúng).
Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).
Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên \(M\) chính là điểm uốn của hàm số ban đầu.
Ta có \(y'' = 2x - 2m = 0 \Leftrightarrow x = m\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}{m^3} - {m^3} + \left( {{m^2} - 1} \right)m = \dfrac{1}{3}{m^3} - m\).
\( \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{1}{3}{m^3} - m} \right)\).
\(M \in d \Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9 \Leftrightarrow {m^3} - 18m + 27 = 0\).
Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(0\) (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com