Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số

Câu hỏi số 487239:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) sao cho \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

A. \( - 6\)

B. \(6\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487239

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

- Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).

- Chứng minh \(M\) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình \(y'' = 0\) tìm \(M\).

- Thay \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) tìm \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) \( \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - {m^2} + 1 > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\) (luôn đúng).

Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).

Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên \(M\) chính là điểm uốn của hàm số ban đầu.

Ta có \(y'' = 2x - 2m = 0 \Leftrightarrow x = m\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}{m^3} - {m^3} + \left( {{m^2} - 1} \right)m = \dfrac{1}{3}{m^3} - m\).

\( \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{1}{3}{m^3} - m} \right)\).

\(M \in d \Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9 \Leftrightarrow {m^3} - 18m + 27 = 0\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(0\) (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.