Từ một tâm tôn có hình dạng là một Elip với độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục bé

Câu hỏi số 487238:

Vận dụng

Từ một tâm tôn có hình dạng là một Elip với độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục bé bằng 4, ta cắt lấy tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp Elip (tham khảo hình vẽ sau). Gõ tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không có đáy.

Thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng:

A. \(\dfrac{{128}}{{3\sqrt 2 \pi }}\)

B. \(\dfrac{{64\sqrt 3 }}{{9\pi }}\)

C. \(\dfrac{{64}}{{3\sqrt 2 \pi }}\)

D. \(\dfrac{{128\sqrt 3 }}{{9\pi }}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487238

Phương pháp giải

- Lập phương trình Elip.

- Giả sử hình chữ nhật có chiều dài \(2a\,\,\left( {0 < a < 4} \right)\). Khi đó chu vi đáy hình trụ bằng \(2a\), tính bán kính đáy của hình trụ.

- Tính chiều cao hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 8\\2b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Phương trình elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\,\,\left( E \right)\).

Giả sử hình chữ nhật có chiều dài \(2a\,\,\left( {0 < a < 4} \right)\). Khi đó chu vi đáy hình trụ bằng \(2a\) nên bán kính đáy là \(R = \dfrac{{2a}}{{2\pi }} = \dfrac{a}{\pi }\).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ

Thay \(x = a\) ta có \(\dfrac{{{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \right)\) \( \Rightarrow {y_A} = 2\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \) \( \Rightarrow A\left( {a;2\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} } \right)\).

\( \Rightarrow \) Chiều rộng của hình chữ nhật là \(4\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \) \( \Rightarrow \) Chiều cao của hình trụ là \(h = 4\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ: \(V = \pi {R^2}h = \pi .\dfrac{{{a^2}}}{{{\pi ^2}}}4\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{64}}{\pi }.\dfrac{{{a^2}}}{{16}}\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \).

Xét hàm số \(f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2}}}{{16}}\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \), đặt \(t = \dfrac{{{a^2}}}{{16}}\,\,\left( {0 < t < 1} \right)\) \( \Rightarrow f\left( t \right) = t\sqrt {1 - t} \).

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \sqrt {1 - t} + t.\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - t} }} = \dfrac{{2 - 3t}}{{2\sqrt {1 - t} }}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2 - 3t = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{2}{3}.\sqrt {1 - \dfrac{2}{3}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}\).

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng \(\dfrac{{64}}{\pi }.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{128\sqrt 3 }}{{9\pi }}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.