Biết nghiệm lớn nhất của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) = 2\) có dạng \(x = a + b\sqrt 3 \) (\(a,\,\,b\) là hai số nguyên). Giá trị của \(a + b\) bằng:

Câu 487249: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) = 2\) có dạng \(x = a + b\sqrt 3 \) (\(a,\,\,b\) là hai số nguyên). Giá trị của \(a + b\) bằng:

A. \(6\)

B. \(4\)

C. \(10\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 487249

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đưa các logarit về cùng cơ số 2.

- Giải phương trình logarit: \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\).

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) = 2\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}x - {\log _2}\left( {2x - 1} \right) = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {2x - 1} \right) = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{x^2}}}{{2x - 1}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{2x - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow x = 4 \pm 2\sqrt 3 \end{array}\)

Suy ra nghiệm lớn nhất của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là \(x = 4 + 2\sqrt 3 \) \( \Rightarrow a = 4,\,\,b = 2\).

Vậy \(a + b = 4 + 2 = 6\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.