Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ {1;4}

Câu hỏi số 487253:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\), \(f\left( 1 \right) = 1,\,\,f\left( 4 \right) = 8\) và \(2x.f\left( x \right).f'\left( x \right) = {x^3} + 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\). Tích phân \(\int\limits_1^4 {\dfrac{x}{{f\left( x \right)}}dx} \) bằng:

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487253

Phương pháp giải

- Chuyển \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) sang VT, chia cả 2 vế cho \(2f\left( x \right)\).

- Chia cả 2 vế cho \({x^2}\).

- Lấy tích phân từ 1 đến 4 hai vế.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2x.f\left( x \right).f'\left( x \right) = {x^3} + 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow 2x.f\left( x \right).f'\left( x \right) - 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {x^3}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{2f\left( x \right)}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{x}{{2f\left( x \right)}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).x - f\left( x \right).x'}}{{{x^2}}} = \dfrac{x}{{2f\left( x \right)}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)' = \dfrac{x}{{2f\left( x \right)}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\end{array}\)

Lấy tích phân từ 1 đến 4 hai vế ta được: \(\int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)'dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^4 {\dfrac{x}{{f\left( x \right)}}dx} \).

\( \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right|_1^4 = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^4 {\dfrac{x}{{f\left( x \right)}}dx} \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{x}{{f\left( x \right)}}dx} = 2\left( {\dfrac{1}{4}f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.8 - 2.1 = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.