Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3\) và

Câu hỏi số 487252:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3\sqrt 3 \). Giá trị của biểu thức \(\left| {{{\left( {{z_1}\overline {{z_2}} } \right)}^3} + {{\left( {\overline {{z_1}} {z_2}} \right)}^3}} \right|\) bằng:

A. \(1458\)

B. \(324\)

C. \(729\)

D. \(2196\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487252

Phương pháp giải

- Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\).

- Từ các giả thiết tìm \({a^2} + {b^2},\,\,{c^2} + {d^2},\,\,ac + bd\).

- Tính \({z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\).

Theo bài ra ta có:

+ \(\left| {{z_1}} \right| = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9\) (1)

+ \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 9\) (2)

+ \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} = 27\) (3)

Trừ vế theo vế của phương trình (2) và (3) ta được \(4ac + 4bd = - 18 \Leftrightarrow ac + bd = \dfrac{{ - 9}}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2ac + 2bd = 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 9 + {c^2} + {d^2} - 9 = 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 9\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\\ = \left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right) + \left( {a - bi} \right)\left( {c + di} \right)\\ = ac - adi + bci + bd + ac + adi - bci + bd\\ = 2ac + 2bd = - 9\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{z_1}\overline {{z_2}} } \right)^3} + {\left( {\overline {{z_1}} {z_2}} \right)^3}\\ = {\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)^3} - 3\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right){z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}\\ = {\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)^3} - 3\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right){\left| {{z_1}} \right|^2}{\left| {{z_2}} \right|^2}\\ = {\left( { - 9} \right)^3} - 3.\left( { - 9} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\\ = - 729 + 27.9.9 = 1458\end{array}\)

Vậy \(\left| {{{\left( {{z_1}\overline {{z_2}} } \right)}^3} + {{\left( {\overline {{z_1}} {z_2}} \right)}^3}} \right| = 1458\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.