Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 5;15} \right)\) để phương trình \(\left(

Câu hỏi số 487255:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 5;15} \right)\) để phương trình \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \sqrt {2{x^2} + 3} = 0\) có nghiệm?

A. \(20\)

B. \(19\)

C. \(18\)

D. \(17\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487255

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \sqrt {2{x^2} + 3} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \left( {2{x^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\ln \left( {2{x^2} + 3} \right) = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

TH1:

\(\begin{array}{l}\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + mx + {m^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + mx + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4}{m^2} + \dfrac{3}{4}{m^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}m} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{2}m = 0\\\dfrac{3}{4}{m^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = m = 0\end{array}\)

Thay \(x = m = 0\) ta có: \(\ln 1 = 0\) (luôn đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) \ne 0\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} + 2}}{{\ln \left( {2{x^2} + 3} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + mx + {m^2}}}{{\ln \left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right)}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{t}{{\ln \left( {t + 1} \right)}}\,\,\left( {t \ge 2} \right)\), dễ dàng chứng minh được \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Do đó \(2{x^2} + 2 = {x^2} + mx + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - mx - {m^2} + 2 = 0\).

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} + 4{m^2} - 8 \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt {\dfrac{8}{5}} \\m \le - \sqrt {\dfrac{8}{5}} \end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 5;15} \right)\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;2;3;4;5;...;14} \right\}\).

Kết hợp 2 TH ta có \(m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;0;2;3;4;5;...;14} \right\}\).

Vậy có 17 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.