Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BD = AD = 2a\), \(AC = a\sqrt 7 \), \(BC = a\sqrt 5 \). Biết khoảng cách

Câu hỏi số 487256:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BD = AD = 2a\), \(AC = a\sqrt 7 \), \(BC = a\sqrt 5 \). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB,\,\,CD\) bằng \(\dfrac{a}{2}\). Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) bằng:

A. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\)

D. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487256

Giải chi tiết

Ta có \(A{B^2} + B{C^2} = 4{a^2} + 3a = 7{a^2} = A{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) (định lí Pytago đảo).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.2a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \).

Dựng hình chữ nhật \(ABCE\) ta có \(AB//CE \Rightarrow AB//\left( {CDE} \right) \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), kẻ \(IJ//AE//BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot DI\\AB \bot IJ\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {DIJ} \right)\).

Trong \(\left( {DIJ} \right)\) kẻ \(DH \bot IJ\,\,\left( {H \in IJ} \right)\) \( \Rightarrow DH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {CDE} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {DIJ} \right)\) lẻ \(IK \bot DJ\,\,\left( {K \in DJ} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CE//AB\\AB \bot \left( {DIJ} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {DIJ} \right) \Rightarrow IK \bot IJ\\\left\{ \begin{array}{l}IK \bot IJ\\IK \bot DJ\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {CDE} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {CDE} \right)} \right) = IK = \dfrac{a}{2}\end{array}\)

Vì \(\Delta ABD\) đều cạnh \(2a\) nên \(DI = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 = IJ\) \( \Rightarrow \Delta DIJ\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow K\) là trung điểm cuae \(DJ\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(DIK\) ta có \(DK = \sqrt {D{I^2} - I{K^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\)

\( \Rightarrow DJ = 2DK = a\sqrt {11} \).

Khi đó ta có \({S_{\Delta DIJ}} = \dfrac{1}{2}IK.DJ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.a\sqrt {11} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).

Lại có \({S_{\Delta DIJ}} = \dfrac{1}{2}DH.IJ \Rightarrow DH = \dfrac{{2{S_{\Delta DIJ}}}}{{IJ}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{2.a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{6}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {33} }}{6}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.