Đường thẳng qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và cắt Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\) tại hai

Câu hỏi số 487474:

Vận dụng

Đường thẳng qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và cắt Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\) tại hai điểm \({M_1},\,\,{M_2}\) sao cho \(M{M_1} = {\rm{ }}M{M_2}\) có phương trình là:

A. \(4x + 9y--13 = 0\)

B. \(2x + 4y--5 = 0\)

C. \(x + y + 5 = 0\)

D. \(16x--15y + 100 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487474

Phương pháp giải

Gọi \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là giao điểm của \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\).

\(\left\{ \begin{array}{l}4x_1^2 + 9y_1^2 = 36\\4x_2^2 + 9y_2^2 = 36\end{array} \right. \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 9y_1^2} \right) - \left( {4x_2^2 + 9y_2^2} \right) = 0\) suy ra ta có phương trình \(4\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0\).

Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\) đi qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec n = \left( {4;\,\,9} \right)\) là VTPT

Giải chi tiết

Gọi \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là giao điểm của \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\).

Vì \(M{M_1} = {\rm{ }}M{M_2}\) nên \(M\) là trung điểm của \({M_2}{M_1}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\1 = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{y_1} + {y_2} = 2\end{array} \right.\)

Vì \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) thuộc Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x_1^2 + 9y_1^2 = 36\\4x_2^2 + 9y_2^2 = 36\end{array} \right. \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 9y_1^2} \right) - \left( {4x_2^2 + 9y_2^2} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 9y_1^2} \right) - \left( {4x_2^2 + 9y_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x_1^2 + 9y_1^2 - 4x_2^2 - 9y_2^2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4x_1^2 - 4x_2^2} \right) + \left( {9y_1^2 - 9y_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) + 9\left( {y_1^2 - y_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 18\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \vec n = \left( {4;\,\,9} \right)\) là VTPT của \({M_1}{M_2}\).

Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\) đi qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec n = \left( {4;\,\,9} \right)\) là VTPT.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4 + 9y - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 9y - 13 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình \({M_1}{M_2}\) là \(4x + 9y--13 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10