Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} + 1} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left(

Câu hỏi số 489616:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} + 1} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = x.f'\left( x \right)\) là:

A. \(\dfrac{3}{2}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)

B. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)

C. \(\dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)

D. \(\dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + 1} + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489616

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và đưa biến vào vi phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int {g\left( x \right)dx} = \int {xf'\left( x \right)dx} = \int {xd\left( {f\left( x \right)} \right)} = xf\left( x \right) - \int {f\left( x \right)dx} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {\sqrt {{x^2} + 1} d\left( {{x^2} + 1} \right)} \\ = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\\ = \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + C\end{array}\)

Vậy \(\int {g\left( x \right)dx} = {x^2}\sqrt {{x^2} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + C\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + C\\ = \dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.