Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{5{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 9}} +

Câu hỏi số 489626:

Vận dụng

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{5{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 9}} + {\left( {x - y} \right)^2} = 9\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x - 1}}{{4x - y - 9}}\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{6}\)

B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(\dfrac{1}{3}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489626

Phương pháp giải

- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.

- Đưa phương trình về dạng \({\left( {ax + by} \right)^2} + {\left( {cx + dy} \right)^2} = {c^2}\).

- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\sin \alpha \\cx + dy = c\cos \alpha \end{array} \right.\), tìm \(x,\,\,y\) theo \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha \).

- Điều kiện để phương trình dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{5{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 9}} + {\left( {x - y} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{4{x^2} + 4xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2} - 9}} + {\left( {x - y} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{{{\left( {2x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2} - 9}} = 9 - {\left( {x - y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2}{.2^{{{\left( {2x + y} \right)}^2}}} = \left[ {9 - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]{.2^{9 - {{\left( {x - y} \right)}^2}}}\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t{.2^t}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}\ln 2 > 0\,\,\forall t \ge 0\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Lại có \(f\left[ {{{\left( {2x + y} \right)}^2}} \right] = f\left( {9 - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right)\) nên \({\left( {2x + y} \right)^2} = 9 - {\left( {x - y} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} = 9\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\sin \alpha \\x - y = 3\cos \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sin \alpha + \cos \alpha \\y = \sin \alpha - 2\cos \alpha \end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{x - 1}}{{4x - y - 9}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}}{{4\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) - \left( {\sin \alpha - 2\cos \alpha } \right) - 9}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}}{{3\sin \alpha + 6\cos \alpha - 9}}\\ \Leftrightarrow 3P\sin \alpha + 6P\cos \alpha - 9P = \sin \alpha + \cos \alpha - 1\\ \Leftrightarrow \left( {3P - 1} \right)\sin \alpha + \left( {6P - 1} \right)\cos \alpha = 9P - 1\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để tồn tại giá trị lớn nhất của \(\left( P \right)\) thì (*) phải có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {3P - 1} \right)^2} + {\left( {6P - 1} \right)^2} \ge {\left( {9P - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 36{P^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \le P \le \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Vậy \({P_{\max }} = \dfrac{1}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.