Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có các cạnh \(AB = AA' = 2a\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có các cạnh \(AB = AA' = 2a\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(AA'\) lấy điểm \(I\) sao cho \(AI = \dfrac{1}{4}AA'\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm đối xứng với với \(B\) và \(C\) qua \(I\). Thể tích khối đa diện \(AMNA'B'C'\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ta có \(MN//BC \Rightarrow MN//B'C'\) và \(MN = BC = B'C'\), suy ra tứ giác \(MNB'C'\) là hình bình hành.
Gọi \(H = MB' \cap NC'\) suy ra \(J\) là tâm hình bình hành và \(J \in AA'\).
Ta có: \({V_{AMNA'B'C'}} = {V_{A.MNB'C'}} + {V_{A'.MNB'C'}}\)
Do \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(MBB'\) nên \(IJ = \dfrac{1}{2}BB' = a \Rightarrow A'J = \dfrac{1}{2}a\).
+) \(B'J = C'J = \sqrt {A'B{'^2} + A'{J^2}} = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2},\,\,B'C' = 2a\sqrt 2 \), đặt \(p = \dfrac{{JB' + JC' + B'C'}}{2}\)
+) \({S_{\Delta JB'C'}} = \sqrt {p\left( {p - IB'} \right)\left( {p - IC'} \right)\left( {p - B'C'} \right)} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow {S_{MNB'C'}} = 4{S_{\Delta JB'C'}} = 6{a^2}\sqrt 2 \).
+) \(d\left( {A';\left( {JB'C'} \right)} \right).{S_{\Delta JB'C'}} = 3{V_{A'.JB'C'}} = A'J.{S_{\Delta A'B'C'}}\)
\( \Rightarrow d\left( {A';\left( {JB'C'} \right)} \right) = \dfrac{{A'J.{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta JB'C'}}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
+) \({V_{A.JB'C'}} = {V_{A.A'B'C'}} - {V_{J.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}AJ.{S_{\Delta A'B'C'}} = {a^3}\).
+) \(d\left( {A;\left( {JB'C'} \right)} \right).{S_{\Delta JB'C'}} = 3{V_{A.JB'C'}} = 3{a^2} \Rightarrow d\left( {A;\left( {JB'C'} \right)} \right) = \dfrac{{3{a^3}}}{{{S_{\Delta JB'C'}}}} = a\sqrt 2 \).
Vậy \({V_{AMN.A'B'C'}} = {V_{A.MNB'C'}} + {V_{A'.MNB'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {JB'C'} \right)} \right) + d\left( {A;\left( {JB'C'} \right)} \right).{S_{MNB'C'}}\)
\( = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).6{a^2}\sqrt 2 = \dfrac{{16{a^3}}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
