Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 \). Tính

Câu hỏi số 489632:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo \(a\).

A. \(d = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(d = a\sqrt 3 \)

C. \(d = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{3}\)

D. \(d = a\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489632

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\) sang \(d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\) với \(O = AC \cap BD\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), chứng minh \(CD \bot \left( {SOM} \right)\).

- Trong \(\left( {SOM} \right)\) dựng \(OH \bot SM\), chứng minh \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm là \(AC\).

Ta có \(AC \cap \left( {SCD} \right) = C\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) dựng \(OH \bot SM\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OM = \dfrac{a}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có: \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {2{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.