Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), cạnh bên \(SA\) vuông

Câu hỏi số 490874:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 \), \(AD = 2AB = 2BC = 2a\). Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490874

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác, định lí Pytago trong các tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow ABCM\) là hình vuông.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AD\\CM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAD} \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(MH \bot SD\,\,\left( {H \in SD} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CM \bot SD\\MH \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow SD \bot \left( {CMH} \right)\) \( \Rightarrow CH \bot SD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SD\\MH \subset \left( {SAD} \right),\,\,MH \bot SD\\CH \subset \left( {SAD} \right),\,\,CH \bot SD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {MH;CH} \right) = \angle CHM\).

Trong tam giác vuông \(SAD\) ta có: \(\tan \angle SDA = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin \angle SDA = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Trong tam giác vuông \(MHD\) có \(\sin \angle SDA = \frac{{MH}}{{MD}} \Rightarrow MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Trong tam giác vuông \(MHC\) có: \(HC = \sqrt {M{C^2} + M{H^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \cos \angle CHM = \frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.