Cho hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {2m + 13} \right)x - m - 2\) có đồ thị \(\left(

Câu hỏi số 490894:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {2m + 13} \right)x - m - 2\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\), đường thẳng \(d:\,\,y = mx + m + 8\) và điểm \(I\left( {1;4} \right)\). Tính tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\), biết rằng đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại ba điểm phân biệt \(A,\,\,B,\,\,C\) với \(A\) có hoành độ bằng \( - 2\) và tam giác \(IBC\) cân tại \(I\).

A. \( - 12\)

B. \( - 6\)

C. \( - 4\)

D. \( - 10\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490894

Phương pháp giải

- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

- Tìm cụ thể tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

- Để tam giác \(IBC\) cân tại \(I\) thì \(IB = IC\) \( \Leftrightarrow I{B^2} = I{C^2}\), với \(I\left( {1;4} \right)\). Giải phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {2m + 13} \right)x - m - 2 = mx + m + 8\\ \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {3m + 13} \right)x - 2m - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = - 3 + 8\\x = - 1 \Rightarrow y = 8\\x = m + 5 \Rightarrow y = {m^2} + 6m + 8\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}m + 5 \ne - 2\\m + 5 \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 7\\m \ne - 6\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( { - 2; - 3 + 8} \right),\,\,B\left( { - 1;8} \right);\,\,C\left( {m + 5;{m^2} + 6m + 8} \right)\).

Để tam giác \(IBC\) cân tại \(I\) thì \(IB = IC\) \( \Leftrightarrow I{B^2} = I{C^2}\), với \(I\left( {1;4} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + {4^2} = {\left( {m + 4} \right)^2} + {\left( {{m^2} + 6m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 20 = {m^2} + 8m + 16 + {m^4} + 36{m^2} + 16 + 12{m^3} + 8{m^2} + 48m\\ \Leftrightarrow {m^4} + 12{m^3} + 45{m^2} + 56m + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {{m^3} + 10{m^2} + 25m + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m + 6} \right)\left( {{m^2} + 4m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 6\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - 2 \pm \sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán và tổng của chúng bằng \( - 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.