Cho số phức \(z\) thay đổi thỏa mãn \(\left| {\sqrt 3 z + i} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất của
Cho số phức \(z\) thay đổi thỏa mãn \(\left| {\sqrt 3 z + i} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1} \right| + \left| {z + \sqrt 3 i} \right|\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có: \(\left| {\sqrt 3 z + i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z + \frac{1}{{\sqrt 3 }}i} \right| = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\), bán kính \(R = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Gọi \(A\left( {1;0} \right);\,\,B\left( { - 1;0} \right);\,\,C\left( {0; - \sqrt 3 } \right)\) ta thấy \(A,\,\,B,\,\,C \in \left( C \right)\) và \(\Delta ABC\) đều cạnh \(2\).
Khi đó ta có \(S = MA + MB + MC\).
Lấy \(D \in MC\) sao cho \(MD = MA\).
Ta có: \(\angle AMD = \angle AMC = \angle ABC = {60^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))
\( \Rightarrow \Delta AMD\) đều \( \Rightarrow MA = MD = AD\).
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ADC\) có: \(AM = AD\,\,\left( {cmt} \right);\,\,AB = AC\,\,\left( {cmt} \right)\).
Có \(\angle ADM = {60^0} \Rightarrow \angle ADC = {120^0} = \angle AMB\).
Lại có \(\angle ABM = \angle ACD = \angle ACM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))
\( \Rightarrow \angle MAB = \angle DAC\).
\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta ADC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MB = DC\).
Do đó \(S = MA + MB + MC = MD + DC + MC = 2MC\).
\( \Rightarrow S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(MC\) đạt giá trị lớn nhất \( \Rightarrow MC\) là đường kính của \(\left( C \right)\) và \(MC = 2R = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \({S_{\max }} = 2M{C_{\max }} = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
