Cho khối hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có bảng

Câu hỏi số 491363:

Vận dụng

Cho khối hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Bất phương trình $f\left( x \right) < {\sin ^2}x + 3m$ đúng với mọi $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$ khi và chỉ khi:

A. $m \ge \dfrac{1}{3}\left[ {f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) - 1} \right]$

B. $m \ge \dfrac{1}{3}f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - \dfrac{1}{6}$

C. $m \ge \dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)$

D. $m > \dfrac{1}{3}\left[ {f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) - 1} \right]$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491363

Phương pháp giải

Cô lập tham số $m$, đưa bất phương trình về dạng $3m > g(x)$ với $g(x) = f(x) - \sin^2 x$.

Để bất phương trình đúng với mọi $x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right]$ thì $3m > \max_{\left( 0; \frac{\pi}{2} \right]} g(x)$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $g(x)$ trên $\left( 0; \frac{\pi}{2} \right]$ để tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta có: $f(x) < \sin^2 x + 3m \Leftrightarrow 3m > f(x) - \sin^2 x$.

Xét hàm số $g(x) = f(x) - \sin^2 x$ trên nửa khoảng $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$.

Đạo hàm: $g'(x) = f'(x) - 2\sin x \cos x = f'(x) - \sin 2x$.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f'(x)$, ta thấy với $x \in \left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$ thì $f'(x)$ đồng biến và đi từ $1$ đến $6$. Do đó, $f'(x) > 1$ với mọi $x \in \left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$.

Mặt khác, với $x \in \left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$ thì $2x \in (0; \pi]$, suy ra $\sin 2x \le 1$.

Từ đó ta có $g'(x) = f'(x) - \sin 2x > 1 - 1 = 0$ với mọi $x \in \left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$.

Suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên nửa khoảng $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $g(x)$ trên $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$ đạt tại $x = \dfrac{\pi}{2}$:

$\max_{\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]} g(x) = g\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - \sin^2\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 1$.

Để bất phương trình $3m > g(x)$ đúng với mọi $x \in \left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]$ thì $3m > \max_{\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right]} g(x)$. Vì $x = \dfrac{\pi}{2}$ thuộc tập hợp đang xét nên dấu của bất đẳng thức phải là dấu ngoặc nhọn nghiêm ngặt (>).

Suy ra $3m > g\left( \dfrac{\pi}{2} \right)$

$\Leftrightarrow 3m > f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 1$

$\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 1 \right]$.

Đáp án: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.