Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\). Biểu thức \(P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left|
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\). Biểu thức \(P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\) đạt giá trị lớn nhất khi phần thực của \(z\) bằng \(\dfrac{a}{b}\), (với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a \in \mathbb{Z},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Khi đó \(a + b\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Chứng minh \(\dfrac{1}{z} = \overline z \).
- Sử dụng \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\), rút gọn biểu thức \(P\).
- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\), thay vào và đưa biểu thức \(P\) về dạng chỉ còn biến \(x\).
- Lập BBT của \(P\) và tìm GTLN của biểu thức.
Ta có: \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \overline z \).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| z \right|\left| {z - 1} \right| + \left| z \right|\left| {z + 1 + \dfrac{1}{z}} \right|\\P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 + \overline z } \right|\end{array}\)
Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 + \overline z } \right|\\P = \left| {x + yi - 1} \right| + \left| {x + yi + 1 + x - yi} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \\P = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} + \left| {2x + 1} \right|\end{array}\)
Mà \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}P = \sqrt {2 - 2x} + \left| {2x + 1} \right|\\{x^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow P = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2 - 2x} + 2x + 1\,\,khi\,\, - \dfrac{1}{2} \le x \le 1\\\sqrt {2 - 2x} - 2x - 1\,\,khi\,\, - 1 \le x < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
+ TH1: \( - \dfrac{1}{2} \le x \le 1\) ta có: \(P = \sqrt {2 - 2x} + 2x + 1\) \( \Rightarrow P' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {2 - 2x} }} + 2 = \dfrac{{2\sqrt {2 - 2x} - 1}}{{\sqrt {2 - 2x} }}\).
Cho \(P' = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {2 - 2x} = 1 \Leftrightarrow 2 - 2x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{8}\,\,\left( {tm} \right)\).
+ TH2: \( - 1 \le x < \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\sqrt {2 - 2x} - 2x - 1\) \( \Rightarrow P' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {2 - 2x} }} - 2 < 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Dễ thấy hàm số không có đạo hàm tại \(x = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \({P_{\max }} = \dfrac{{13}}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{8} = \dfrac{a}{b}\).
Vậy \(a + b = 7 + 8 = 15\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
