Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn \({e^{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}} <
Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn \({e^{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}} < \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - xy}}{{xy - {x^2}}}\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có \({e^{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}} < \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} < 2\ln \dfrac{x}{y} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} - 2\ln \dfrac{x}{y} < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\,\,\left( {t > 0} \right)\) \( \Rightarrow t - \dfrac{1}{t} < 2\ln t \Leftrightarrow t - \dfrac{1}{t} - 2\ln t < 0\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t - \dfrac{1}{t} - 2\ln t\) với \(t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{{t^2}}} - \dfrac{2}{t} = \dfrac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left( {tm} \right)\).
Khi đó ta có BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) như sau:
Dựa vào BBT \(f\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1\) hay \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 < \dfrac{x}{y} < 1\).
Xét \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - xy}}{{xy - {x^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{xy - {x^2}}} - 1 = \dfrac{1}{{\dfrac{x}{y} - \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}}}} - 1\).
Đặt \(u = \dfrac{x}{y}\,\,\left( {0 < u < 1} \right)\), ta có \(g\left( u \right) = \dfrac{1}{{u - {u^2}}} - 1 \Rightarrow g'\left( u \right) = \dfrac{{2u - 1}}{{{{\left( {u - {u^2}} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow u = \dfrac{1}{2}\).
Ta có BBT hàm số \(y = g\left( u \right)\) như sau:
Dựa vào BBT \( \Rightarrow \min P = \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( u \right) = g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
