Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20;10} \right]\) để bất phương trình \(9{\left(

Câu hỏi số 492838:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20;10} \right]\) để bất phương trình \(9{\left( {{{\log }_3}\sqrt[3]{x}} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left( {3;81} \right)\) là:

A. \(12\)

B. \(10\)

C. \(11\)

D. \(15\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492838

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,9{\left( {{{\log }_3}\sqrt[3]{x}} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {\dfrac{1}{3}{{\log }_3}x} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x + {\log _3}x + 2m \ge 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}x\), với \(x \in \left( {3;81} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;4} \right)\), bất phương trình trở thành \({t^2} + t + 2m \ge 0\) nghiệm đúng \(\forall t \in \left( {1;4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2m \ge - {t^2} - t\) nghiệm đúng \(\forall t \in \left( {1;4} \right)\) \( \Rightarrow 2m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left( { - {t^2} - t} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} - t\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) = - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {1;4} \right]\).

\(f\left( 1 \right) = - 2,\,\,f\left( 4 \right) = - 20\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left( { - {t^2} - t} \right) = f\left( 1 \right) = - 2\) \( \Rightarrow 2m \ge - 2 \Leftrightarrow m \ge - 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có: \(m \in \left[ { - 1;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;...;10} \right\}\).

Vậy có 12 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.