Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 6 \). Biết rằng các mặt

Câu hỏi số 492869:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 6 \). Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \). Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(2\sqrt 2 \).

D. \(2\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492869

Phương pháp giải

Gọi \(H\) là chân hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng đáy.

Từ đó lập luận các trường hợp xảy ra của điểm \(H\) và tìm ra giá trị nhỏ nhất của \(SH.\)

Giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

\(M,\,N,\,P\) lần lượt là hình chiếu của H trên \(AB,\,BC,\,CA\)

Khi đó \(SM,\,SN,\,SP\) lần lượt là đường cao của các mặt bên

Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên \(SM = SN = SP \Rightarrow HM = HN = HP\)

Nên H là đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác ABC.

+) TH1: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Khi đó hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều có cạnh đáy bằng \(\sqrt 6 \), cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \)

Ta có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = 4\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.42.\dfrac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 3 \)

+) TH2: H là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC

Giả sử bàng tiếp góc A

Ta có \(AH = \dfrac{{2.\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 2 \,\,\,;\,\,BH = CH = \sqrt 6 \)

Nếu \(SA = 3\sqrt 2 \, \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = 0\,\left( l \right)\)

Nếu \(SA = 3\sqrt 2 \, \Rightarrow SB = SC = 3\sqrt 2 \, \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = 2\sqrt 3 \)

Thể tích khối chóp \(SABC\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = 3\)

Vậy \(\min {V_{SABC}} = 3\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.