Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x

Câu hỏi số 493236:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(f\left( 0 \right) = 0\). Tính \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \).

A. \(I = \dfrac{\pi }{4}\)

B. \(I = - \dfrac{\pi }{4}\)

C. \(I = \dfrac{1}{4}\)

D. \(I = - \dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493236

Phương pháp giải

- Tính \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

- Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \), sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

- Lấy tích phân từ 0 đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế của \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\).

- Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} \) theo \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \), từ đó tính \(I\).

Giải chi tiết

Có \(f\left( 0 \right) = 0;\,\,\,f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(f\left( 0 \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\, \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\).

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \left. {\left( {xf\left( x \right)} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Lấy tích phân từ 0 đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế của \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\) ta được:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x\cos x} \right)dx = \dfrac{1}{2}} \).

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)d\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)} = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}\).

Vậy \(I = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.