Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CD\) bằng độ dài đoạn \(SO\). Tính sin của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
Câu 493528: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CD\) bằng độ dài đoạn \(SO\). Tính sin của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
A. \(\dfrac{3}{5}\)
B. \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\)
C. \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)
D. \(\dfrac{4}{5}\)
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;OA} \right) = \angle SAO\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right)\).
Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).
Ta có: \(AB//CD \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right) \supset SA\) \( \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).
Lại có \(CO \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CA}}{{OA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = 2OH = SO\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{4O{H^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\\ \Rightarrow SO = 2OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Xét tam giác vuông \(SOA\) có: \(\sin \angle SAO = \dfrac{{SO}}{{SC}} = \dfrac{{SO}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com