Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CD\) bằng độ dài đoạn \(SO\). Tính sin của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

Câu 493528: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CD\) bằng độ dài đoạn \(SO\). Tính sin của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

A. \(\dfrac{3}{5}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

D. \(\dfrac{4}{5}\)

Câu hỏi : 493528
  • Đáp án : B
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

    \( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;OA} \right) = \angle SAO\).

    Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right)\).

    Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).

    Ta có: \(AB//CD \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right) \supset SA\) \( \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).

    Lại có \(CO \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CA}}{{OA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = 2OH = SO\).

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:

    \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{4O{H^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\\ \Rightarrow SO = 2OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

    Xét tam giác vuông \(SOA\) có: \(\sin \angle SAO = \dfrac{{SO}}{{SC}} = \dfrac{{SO}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com