Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Khoảng cách giữa
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CD\) bằng độ dài đoạn \(SO\). Tính sin của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;OA} \right) = \angle SAO\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right)\).
Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).
Ta có: \(AB//CD \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right) \supset SA\) \( \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).
Lại có \(CO \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CA}}{{OA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = 2OH = SO\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{4O{H^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\\ \Rightarrow SO = 2OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Xét tam giác vuông \(SOA\) có: \(\sin \angle SAO = \dfrac{{SO}}{{SC}} = \dfrac{{SO}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
