Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau thỏa mãn: \({\log _{2021}}{\left(

Câu hỏi số 493527:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:

\({\log _{2021}}{\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right)^{{y^2} + 101}} = 20y + 1\)

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493527

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _{2021}}{\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right)^{{y^2} + 101}} = 20y + 1\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} + 101} \right){\log _{2021}}\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right) = 20y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right) = \dfrac{{20y + 1}}{{{y^2} + 101}}\end{array}\)

Vì \({\left( {y - 10} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y \Leftrightarrow {y^2} - 20y + 100 \ge 0\,\,\forall y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} + 101 \ge 20y + 1\,\,\forall y \Rightarrow \dfrac{{20y + 1}}{{{y^2} + 101}} \le 1\,\,\forall y\\ \Rightarrow {\log _{2021}}\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {4^x} - {2^{x + 1}} + 2022 \le 2021\\ \Leftrightarrow {4^x} - {2.2^x} + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} - 1} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {2^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\end{array}\).

Với \(x = 0\) thì dấu “=” xảy ra, khi đó \({\left( {y - 10} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 10\).

Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên x và y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.