Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:
\({\log _{2021}}{\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right)^{{y^2} + 101}} = 20y + 1\)
Câu 493527: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:
\({\log _{2021}}{\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right)^{{y^2} + 101}} = 20y + 1\)
A. \(1\)
B. \(3\)
C. \(0\)
D. \(2\)
Quảng cáo
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _{2021}}{\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right)^{{y^2} + 101}} = 20y + 1\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} + 101} \right){\log _{2021}}\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right) = 20y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right) = \dfrac{{20y + 1}}{{{y^2} + 101}}\end{array}\)
Vì \({\left( {y - 10} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y \Leftrightarrow {y^2} - 20y + 100 \ge 0\,\,\forall y\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} + 101 \ge 20y + 1\,\,\forall y \Rightarrow \dfrac{{20y + 1}}{{{y^2} + 101}} \le 1\,\,\forall y\\ \Rightarrow {\log _{2021}}\left( {{4^x} - {2^{x + 1}} + 2022} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {4^x} - {2^{x + 1}} + 2022 \le 2021\\ \Leftrightarrow {4^x} - {2.2^x} + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} - 1} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {2^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\end{array}\).
Với \(x = 0\) thì dấu “=” xảy ra, khi đó \({\left( {y - 10} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 10\).
Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên x và y thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
