Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z + 2 = 0\), đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 493535:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z + 2 = 0\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{2 - z}}{1}\) và hai điểm \(B\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;\dfrac{3}{2}} \right)\), \(C\left( {1; - 1;1} \right)\). Gọi \(A\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), \(S\) là điểm di động trên \(d\,\,\left( {S \ne A} \right)\). Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các đường thẳng \(SB,\,\,SC\), \(\left( \Delta \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( P \right)\), \(M \in \Delta \). Giá trị nhỏ nhất của \(MB + MC\) là:

A. \(\dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 6 + 2\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\dfrac{7}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493535

Giải chi tiết

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{2 - z}}{1}\\x + y - z + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{2 - z}}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 1} \right) = \overrightarrow {{n_P}} \).

\( \Rightarrow \left( d \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow SA \bot \left( P \right)\) \( \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \(AB = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\,\,AC = \sqrt 2 \) và \(\dfrac{{HS}}{{HB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{A{B^2}}} = 2S{A^2},\,\,\dfrac{{KS}}{{KC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{2}\).

Gọi \(D = HK \cap BC\). Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SBC\), cát tuyến \(KHD\) ta có:

\(\dfrac{{HS}}{{HB}}.\dfrac{{KC}}{{KS}}.\dfrac{{DB}}{{DC}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DC} \).

\( \Rightarrow D\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {2; - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(AD\) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Vì \(B,\,\,C\) nằm cùng phía so với \(AD\) nên gọi \(C'\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(AD\) thì \(C'\left( {1;0;3} \right)\).

Ta có \(MB + MC = MB + MC' \ge BC' = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Vậy \(\min \left( {MB + MC} \right) = BC' = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.