Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và tam giác \(ACD\) vuông

Câu hỏi số 493882:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và tam giác \(ACD\) vuông cân tại \(A\), \(AC = 2a\). Biết \(A'C\) tạo với đáy một góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\). Góc giữa đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \(\left( {A'CD} \right)\) bằng:

A. \(45^\circ \)

B. \(30^\circ \)

C. \(90^\circ \)

D. \(60^\circ \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493882

Giải chi tiết

Tam giác \(ACD\) vuông cân tại A và \(AC = 2a\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = 2a\\CD = 2a\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vì \(I\)là trung điểm của \(CD\) nên \(AI = \dfrac{1}{2}CD = a\sqrt 2 \) (đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có \(A'A \bot \left( {ACD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(A'C\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {A'C;\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {A'C;AC} \right) = \alpha \).

Xét tam giác vuông \(A'AC\) có: \(A'A = AC.\tan \alpha = 2a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

Trong \(\left( {A'AI} \right)\) kẻ \(AH \bot A'I\,\,\left( {H \in A'I} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AI\\CD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow CD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot A'I\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'CD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow HC\) là hình chiếu vuông góc của \(AC\) lên \(\left( {A'CD} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {AC;\left( {A'CD} \right)} \right) = \angle \left( {AC;HC} \right) = \angle ACH\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A'AI\) ta có:

\(AH = \dfrac{{A'A.AI}}{{\sqrt {A'{A^2} + A{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} }} = a\)

Xét tam giác vuông \(AHC\) có \(\sin \angle ACH = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle ACH = 30^\circ \).

Vậy \(\angle \left( {AC;\left( {A'CD} \right)} \right) = {30^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.