Biết rằng hai số thực \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 3 - 4i} \right| = 3\)và \(\left|

Câu hỏi số 493896:

Vận dụng cao

Biết rằng hai số thực \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 3 - 4i} \right| = 3\)và \(\left| {{z_2} + 1 + \dfrac{1}{4}i} \right| = \dfrac{1}{2}\). Số phức \(z\) có phần thực là \(a\) và phần ảo là \(b\) thỏa mãn \(a - 2b = 5\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - 4{z_2}} \right|\) bằng

A. \({P_{\min }} = \sqrt {130} \)

B. \({P_{\min }} = \sqrt {130} \, - 2\)

C. \({P_{\min }} = \sqrt {130} \, - 3\)

D. \({P_{\min }} = \sqrt {130} \, - 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493896

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1} - 3 - 4i} \right| = 3\\\left| {{z_2} + 1 + \dfrac{1}{4}i} \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {4{z_2} + 4 + i} \right| = 2\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có \(a - 2b = 5 \Leftrightarrow b = \dfrac{{a - 5}}{2}\) \( \Rightarrow \) \(z = a + \dfrac{{a - 5}}{2}i\).

Số phức \(z\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {a;\dfrac{{a - 5}}{2}} \right)\).

Giả sử:

\({z_1}\) có điểm biểu diễn là \(A\)

\(4{z_2}\) có điểm biểu diễn là \(B\)

Khi đó ta có:

Tập hợp các điểm \(A\) là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {3;4} \right)\), bán kính \({R_1} = 3\).

Tập hợp các điểm \(B\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 4; - 1} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = a\\{y_M} = \dfrac{{a - 5}}{2} = \dfrac{{{x_M} - 5}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_M} - 2{y_M} - 5 = 0\) nên tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y - 5 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {{z_1} - z} \right| + \left| {z - 4{z_2}} \right|\\\,\,\,\,\, = MA + MB \ge M{I_1} - {I_1}A + M{I_2} - {I_2}B\\\,\,\,\,\, = M{I_1} + M{I_2} - 5\end{array}\)

Gọi \({I_1}'\)là điểm đối xứng với \({I_1}\) qua \(\Delta \).

Vì \({I_1}{I_1}' \bot \Delta \) nên phương trình đường thẳng \({I_1}{I_1}'\) có dạng \(2x + y + c = 0\).

\({I_1}\left( {3;4} \right) \in {I_1}{I_1}' \Rightarrow 2.3 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 10\) \( \Rightarrow \left( {{I_1}{I_1}'} \right):\,\,2x + y - 10 = 0\).

Gọi \(H = {I_1}{I_1}' \cap \Delta \) \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 10 = 0\\x - 2y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {5;0} \right)\).

Vì \(H\) là trung điểm của \({I_1}{I_1}'\) nên \({I_1}'\left( {7; - 4} \right)\).

Vì \({I_1},\,\,{I_1}'\) đối xứng nhau qua \(\Delta \) nên \(M{I_1} = M{I_1}'\).

\( \Rightarrow M{I_1} + M{I_2} = M{I_1}' + M{I_2} \ge {I_1}'{I_2} = \sqrt {{{11}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {130} \).

Vậy \(P \ge \sqrt {130} - 5\) nên \({P_{\min }} = \sqrt {130} - 5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.