Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\), với điểm \(A\left(

Câu hỏi số 493895:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\), với điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối trụ \(\left( T \right)\) có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và có trục nằm trên đường thẳng \(AB\). Khi \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất thì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của \(\left( T \right)\) có phương trình dạng \(2x + by + cz + {d_1} = 0\)và \(2x + by + cz + {d_2} = 0\), \(\left( {{d_1} < {d_2}} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng \(\left( {{d_1};{d_2}} \right)\)?

A. 11

B. 17

C. 15

D. 13

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493895

Giải chi tiết

Ta có \(AB = 6\)\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = 3\) và tâm \(I\left( {4;3;4} \right)\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} = \sqrt {9 - {h^2}} \).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ là: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi h\left( {9 - {h^2}} \right) = \pi \left( { - {h^3} + 9h} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{\max }} = 6\pi \sqrt 3 \Leftrightarrow h = \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB\,} = \left( {4;4;2} \right) = 2\left( {2;2;1} \right)\).

\( \Rightarrow \)Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến là \(\left( {2;2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \)Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(\left( P \right):2x + 2y + z + d = 0\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\c = 1\end{array} \right.\).

Ta có

\(\begin{array}{l}d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.4 + 2.3 + 4 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \left| {d + 18} \right| = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_1} = 3\sqrt 3 - 18\\{d_2} = - 3\sqrt 3 - 18\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left( { - 3\sqrt 3 - 18;3\sqrt 3 - 18} \right)\end{array}\)

Vậy có 11 số nguyên thuộc \(\left( {{d_1};{d_2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.