Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1,\,\,\,\left| {{z_2} + 1 - i}

Câu hỏi số 493958:

Vận dụng cao

Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1,\,\,\,\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} - {z_2} - 2 + 2i} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 1 - 5i} \right|\) bằng

A. \(6 + \sqrt {37} \)

B. \(5 + \sqrt {23} \)

C. \(6 + \sqrt {11} \)

D. \(6 + \sqrt {13} \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493958

Giải chi tiết

Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức \({z_1},{z_2}.\)

Do \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1\) nên ta có:\(MA = 1\) với \(A\left( {1; - 1} \right)\).

Do \(\left| {{z_2} + 1 - i} \right| = 2\) nên ta có \(NB = 2\) với \(B\left( { - 1;1} \right)\)

Từ \(\left| {{z_1} - {z_2} - 2 + 2i} \right| = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \left| {{z_1} - {z_2} - 2 + 2i} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\left( {{z_1} - 1 + i} \right) - \left( {{z_2} + 1 - i} \right)} \right| = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {NB} } \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow M{A^2} + N{B^2} - 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} = 3 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} = 1\)

\(\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 1 - 5i} \right| = \left| {3\left( {{z_1} - 1 + i} \right) + 2\left( {{z_2} + 1 - i} \right) - 6i} \right| \le \left| {3\left( {{z_1} - 1 + i} \right) + 2\left( {{z_2} + 1 - i} \right)} \right| + \left| { - 6i} \right| = P + 6\)

Với \(P = \left| {3\left( {{z_1} - 1 + i} \right) + 2\left( {{z_2} + 1 - i} \right)} \right| = \left| {3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {NB} } \right|\)

Xét \({P^2} = \left| {3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {NB} } \right| = 9M{A^2} + 4N{B^2} + 12.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} = {9.1^2} + {4.2^2} + 12.1 = 37\)

\( \Rightarrow P = \sqrt {37} \)

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là \(6 + \sqrt {37} \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.