Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 4x\int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và \(f\left( 1

Câu hỏi số 494562:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 4x\int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và \(f\left( 1 \right) > 0\). Giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:

A. \(64\)

B. \(60\)

C. \(62\)

D. \(63\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494562

Giải chi tiết

Đặt \(\int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = a\), hàm số đã cho trở thành \(f\left( x \right) = {x^3} - 4ax\).

Vì \(f\left( 1 \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - 4a > 0 \Leftrightarrow a < \dfrac{1}{4}\).

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 4xa = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 4a\end{array} \right.\).

+) Với \(a \le 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất\(x = 0\), khi đó ta có \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên

\(\begin{array}{l}a = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 4ax} \right)dx} \\\,\,\,\, = \left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2a{x^2}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{4} - 2a\\ \Leftrightarrow 4a = 1 - 8a \Leftrightarrow 12a = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{12}}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

+) Với \(a > 0\) ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\sqrt a \end{array} \right.\).

Vì \(a < \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \sqrt a < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt a < 1\).

Ta có bảng xét dấu:

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}a = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^{2\sqrt a } {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{2\sqrt a }^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\\,\,\,\, = - \int\limits_0^{2\sqrt a } {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{2\sqrt a }^1 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\, = - \int\limits_0^{2\sqrt a } {\left( {{x^3} - 4ax} \right)dx} + \int\limits_{2\sqrt a }^1 {\left( {{x^3} - 4ax} \right)dx} \\\,\,\,\, = - \left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2a{x^2}} \right)} \right|_0^{2\sqrt a } + \left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2a{x^2}} \right)} \right|_{2\sqrt a }^1\\ \Leftrightarrow a = - \dfrac{{16{m^2}}}{4} + 8{a^2} + \left( {\dfrac{1}{4} - 2a} \right) - \dfrac{{16{a^2}}}{4} + 8{a^2}\\ \Leftrightarrow 8{a^2} - 3a + \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = \dfrac{1}{8}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{1}{8} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{1}{2}x\).

Vậy \(f\left( 4 \right) = 62\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.