Cho phương trình \(m{.2^{{x^2} - 6x - 1}} + {m^2}{.2^{2{x^2} - 12x - 1}} = 7{\log _2}\left( {{x^2} - 6x + {{\log
Cho phương trình \(m{.2^{{x^2} - 6x - 1}} + {m^2}{.2^{2{x^2} - 12x - 1}} = 7{\log _2}\left( {{x^2} - 6x + {{\log }_2}m} \right) + 3\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + {\log _2}m > 0\\m > 0\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}m{.2^{{x^2} - 6x - 1}} = {2^{{{\log }_2}m}}{.2^{{x^2} - 6x - 1}} = {2^{{x^2} - 6x - 1 + {{\log }_2}m}}\\{m^2}{.2^{2{x^2} - 12x - 1}} = 2.{\left( {m{{.2}^{{x^2} - 6x - 1}}} \right)^2} = 2.{\left( {{2^{{x^2} - 6x - 1 + {{\log }_2}m}}} \right)^2} = {2^{2\left( {{x^2} - 6x + {{\log }_2}m} \right) - 1}}\end{array}\)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
\({2^{{x^2} - 6x - 1 + {{\log }_2}m}} + {2^{2\left( {{x^2} - 6x + {{\log }_2}m} \right) - 1}} = 7{\log _2}\left( {{x^2} - 6x + {{\log }_2}m} \right) + 3\) (1)
Đặt \(u = {x^2} - 6x + {\log _2}m > 0\), phương trình (1) trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{2^{u - 1}} + {2^{2u - 1}} = 7{\log _2}u + 3\\ \Leftrightarrow {2^u} + {2^{2u}} = 14{\log _2}u + 6\\ \Leftrightarrow {2^u} + {2^{2u}} - 14{\log _2}u - 6 = 0\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {2^u} + {2^{2u}} - 14{\log _2}u - 6\,\,\left( {u > 0} \right)\) ta có \(f'\left( u \right) = {2^u}\ln 2 + {2.2^{2u}}\ln 2 - \dfrac{{14}}{{u\ln 2}}\).
Cho \(f'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow {2^u}\ln 2 + {2.2^u}\ln 2 = \dfrac{{14}}{{u\ln 2}}\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: VT(*) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), VP(*) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có tối đa một nghiệm \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( u \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm.
Ta nhận thấy \(f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\) nên phương trình \(f\left( u \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(u = 1\) và \(u = 2\).
Với \(u = 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + {\log _2}m = 1 \Leftrightarrow - {x^2} + 6x = {\log _2}m - 1\).
Với \(u = 2 \Rightarrow {x^2} - 6x + {\log _2}m = 2 \Leftrightarrow - {x^2} + 6x = {\log _2}m - 2\).
Ta có đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 6x\), \(y = {\log _2}m - 1,\,\,y = {\log _2}m - 2\) như sau:
Do đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}m - 2 < 9 < {\log _2}m - 1\\ \Leftrightarrow 10 < {\log _2}m < 11\\ \Leftrightarrow 1024 < m < 2048\end{array}\)
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1025;1026;...;2047} \right\}\).
Vậy có 1023 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
