Cho đường cong \(\left( C \right):\,\,y = 4{x^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ

Câu hỏi số 494566:

Vận dụng cao

Cho đường cong \(\left( C \right):\,\,y = 4{x^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ tạo thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1},\,\,{S_2}\) như hình vẽ.

Khi \({S_2} = \dfrac{{135}}{2}\) thì \({S_1}\) bằng:

A. \(\dfrac{{135}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{135}}{8}\)

C. \(\dfrac{{8019}}{{256}}\)

D. \(\dfrac{{8017}}{{256}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494566

Giải chi tiết

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) là: \(y = ax\,\,\left( {a > 0} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}4{x^3} - 3{x^2} = ax \Leftrightarrow 4{x^3} - 3{x^2} - ax = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 3x - a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4{x^2} - 3x - a\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng \(d\) cắt đường cong \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 9 + 16a > 0\end{array} \right.\,\,\left( {luon\,\,dung\,\,\forall a > 0} \right)\).

Vì \( - 4a < 0\,\,\forall a > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. Gọi \({x_1} < 0 < {x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{3}{4}\\{x_1}{x_2} = - \dfrac{a}{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - ax} \right)dx} \\{S_2} = - \int\limits_0^{{x_2}} {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - ax} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\, = - \left. {\left( {{x^4} - {x^3} - a\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{{x_2}}\\\,\,\,\,\,\, = - x_2^4 + x_2^3 + \dfrac{{ax_2^2}}{2} = \dfrac{{135}}{2}\\ \Leftrightarrow - 2x_2^4 + 2x_2^3 + ax_2^2 = 135\end{array}\)

Mà \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên \(4x_2^2 - 3{x_2} = a\).

Do đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 2x_2^4 + 2x_2^3 + \left( {4x_2^2 - 3{x_2}} \right)x_2^2 = 135\\ \Leftrightarrow - 2x_2^4 + 2x_2^3 + 4x_2^4 - 3x_2^3 = 135\\ \Leftrightarrow 2x_2^4 - x_2^3 = 135\\ \Leftrightarrow {x_2} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\{x_1} = - \dfrac{9}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({S_1} = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - ax} \right)dx} = \int\limits_{ - \dfrac{9}{4}}^0 {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - 27x} \right)dx} = \dfrac{{8019}}{{256}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.