Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(E\) là điểm trên cạnh \(AD\) sao cho \(BE\)

Câu hỏi số 494745:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(E\) là điểm trên cạnh \(AD\) sao cho \(BE\) vuông góc với \(AC\) tại \(H\) và \(AB > AE\), cạnh \(SH\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc \(\angle BSH = {45^0}\). Biết \(AH = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\), \(BE = a\sqrt 5 \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \(\dfrac{{32{a^3}\sqrt 5 }}{{15}}\)

B. \(\dfrac{{16{a^3}}}{{3\sqrt 5 }}\)

C. \(\dfrac{{32{a^3}}}{{\sqrt 5 }}\)

D. \(\dfrac{{8{a^3}\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494745

Giải chi tiết

Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\):

\(\left\{ \begin{array}{l}AB.AE = AH.BE\\A{E^2} + A{B^2} = B{E^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AE = 2{a^2}\\A{B^2} + A{E^2} = 5{a^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AE = 2{a^2}\\{\left( {AB + AE} \right)^2} - 2AB.AE = 5{a^2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AE = 2{a^2}\\AB + AE = 3a\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Độ dài \(AB,\,\,AE\) là hai nghiệm của phương trình \({X^2} - 3aX + 2{a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2a\\X = a\end{array} \right.\).

Vì \(AB > AE \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 2a\\AE = a\end{array} \right.\).

Xét tam giác vuông\(AHB\) có: \(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{5}} = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}a\).

Xét tam giác \(SHB\) vuông tại \(H\) có: \(SH = BH.\cot \angle BSH = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BC = 4a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}.2a.4a = \dfrac{{32{a^3}\sqrt 5 }}{{15}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.