Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;0} \right)\), \(B\left( { - 1;2;4} \right)\). Xét hình
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;0} \right)\), \(B\left( { - 1;2;4} \right)\). Xét hình trụ \(\left( T \right)\) nội tiếp mặt cầu đường kính \(AB\) và có trục nằm trên đường thẳng \(AB\). Khi đó thể tích khối trụ \(\left( T \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1;0;2} \right)\) là trung điểm của \(AB\), bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = 2\sqrt 3 \).
Giả sử hình trụ \(\left( T \right)\) nội tiếp mặt cầu đường kính \(AB\) có chiều cao \(h = 2x\), bán kính đáy \(r\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \({r^2} = {R^2} - {x^2} = 12 - {x^2}\).
\( \Rightarrow {V_{\left( T \right)}} = \pi {r^2}h = 2\pi \left( {12 - {x^2}} \right)x = - 2\pi {x^3} + 24\pi x\) với \(0 < x < 2\sqrt 3 \).
Ta có \(V' = - 6\pi {x^2} + 24\pi = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Ta có BBT:
\( \Rightarrow {V_{\max }} = V\left( 2 \right) = 32\pi \).
Khi đó \(\left( P \right)\) chứa đường tròn đáy của hình trụ \(\left( T \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;4;4} \right) = 4\left( { - 1;1;1} \right)\) nên phương trình \(\left( P \right)\) có dạng \( - x + y + z + d = 0\).
Khi đó ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {d + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 2 \Leftrightarrow d = - 1 \pm 2\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \) Có 2 phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn là:
\(\left( P \right):\,\, - x + y + z - 1 + 2\sqrt 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):\,\, - x + y + z - 1 - 2\sqrt 3 = 0\).
Vậy \(C\left( { - 1;0;2\sqrt 2 } \right) \in \left( {P'} \right)\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
