Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx\) có đồ thị \(\left( C \right)\)

Câu hỏi số 494748:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx\) có đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình sau:

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right),\,\,h\left( x \right) = f'\left( {f\left( x \right)} \right)\). Tổng số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right),\,\,h\left( x \right)\) là:

A. \(12\)

B. \(11\)

C. \(10\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494748

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

Dựa vào đồ thị ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4\).

Đồng nhất hệ số ta được: \(a = - 1,\,\,b = 0,\,\,c = 4\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + 4x\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4 \Rightarrow f''\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right)\) ta có \(g''\left( x \right) = f''\left( x \right).f'\left( {f'\left( x \right)} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f''\left( x \right) = 0\\f'\left( {f'\left( x \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\f'\left( x \right) = 2\\f'\left( x \right) = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\{x^3} - 3{x^2} + 4 = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3{x^2} + 4 = - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Do phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 1 nghiệm nên phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 6 nghiệm, trong đó có 3 nghiệm bội chẵn của phương trình (1).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f'\left( {f\left( x \right)} \right)\) ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right).f''\left( {f\left( x \right)} \right)\).

Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f''\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\\\dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + 4x = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + 4x = 2\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Do phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 6 nghiệm, trong đó nghiệm \(x = 2\) là nghiệm bội chẵn.

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị.

Vậy tổng số điểm cực trị của hai hàm \(g\left( x \right),\,\,h\left( x \right)\) là 8.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.