Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} + {4^{ - x}} = {2^{x + 1}} -

Câu hỏi số 495594:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} + {4^{ - x}} = {2^{x + 1}} - {2^{1 - x}} + 4 - m\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

A. \(4\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:495594

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^x} + {4^{ - x}} = {2^{x + 1}} - {2^{1 - x}} + 4 - m\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} = 2\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right) + 4 - m\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)^2} + 2 = 2\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right) + 4 - m\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)^2} - 2\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right) + m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x} - {2^{ - x}}\) ta có \(t' = {2^x}\ln 2 + {2^{ - x}}\ln 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(t = {2^x} - {2^{ - x}}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó ta có với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(t \in \left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\).

Khi đó phương trình (*) trở thành \({t^2} - 2t + m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - {t^2} + 2t + 2\,\,\left( {**} \right)\), với \(t \in \left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\) với \(t \in \left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\) ta có: \(f'\left( t \right) = - 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in \left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (**) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left[ {2;3} \right]\).

Mà \(n \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.