Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y + z + 2 = 0\) và hai đường thẳng

Câu hỏi số 495596:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y + z + 2 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\), \({d_2} = \dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{3}\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), cách \(\left( P \right)\) một đoạn bằng \(2\sqrt 3 \) đồng thời cắt \({d_1},\,\,{d_2}\) lần lượt tại \(A,\,\,B\). Biết điểm \(A\) có hoành độ dương. Khi đó độ dài đoạn \(AB\) bằng:

A. \(\sqrt {618} \)

B. \(2\sqrt {618} \)

C. \(\sqrt {258} \)

D. \(2\sqrt {258} \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:495596

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Ta có \(A = \Delta \cap {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + 2a;\,\, - 1 - a;\,\,2 + a} \right)\)

\(B = \Delta \cap {d_2} \Rightarrow B\left( {1 - b;\,\,2 + b;\,\,3b} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - b - 2a;\,\,3 + b + a;\,\, - 2 + 3b - a} \right)\).

Vì \(\Delta //\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\)

\( \Leftrightarrow - b - 2a - 3 - b - a - 2 + 3b - a = 0\) \( \Leftrightarrow b - 4a - 5 = 0 \Leftrightarrow b = 4a + 5\).

Vì \(\Delta //\left( P \right)\) và \(d\left( {\Delta ;\left( P \right)} \right) = 2\sqrt 3 \) nên \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 2\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {1 + 2a + 1 + a + 2 + a + 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \left| {4a + 6} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 3\end{array} \right.\).

Vì \({x_A} > 0\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow 1 + 2a > 0 \Leftrightarrow a > - \dfrac{1}{2}\), do đó chọn \(a = 0 \Rightarrow b = 5\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 5;8;13} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {8^2} + {{13}^2}} = \sqrt {258} \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.