Cho \(x,\,\,y\) là hai số dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{{{x^2} + 8xy + {y^2}}} + 1 + {x^2}

Câu hỏi số 495606:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là hai số dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{{{x^2} + 8xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 8xy + 7{y^2} \le 0\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^2} + 2xy + 10{y^2}}}{{xy + {y^2}}}\). Tính \(T = 8M + m\).

A. \(T = 73\)

B. \(T = 67\)

C. \(T = 81\)

D. \(T = 79\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:495606

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{{{x^2} + 8xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 8xy + 7{y^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 8{y^2}} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + 8xy + {y^2}} \right) + {x^2} - 8xy + 7{y^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 8{y^2}} \right) + 2{x^2} + 8{y^2} \le {\log _2}\left( {{x^2} + 8xy + {y^2}} \right) + {x^2} + 8xy + {y^2}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {2{x^2} + 8{y^2}} \right) \le f\left( {{x^2} + 8xy + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + 8{y^2} \le {x^2} + 8xy + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8xy + 7{y^2} \le 0 \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{x}{y} \le 7\).

Khi đó ta có: \(P = \dfrac{{{x^2} + 2xy + 10{y^2}}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + 2\dfrac{x}{y} + 10}}{{\dfrac{x}{y} + 1}}\).

Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\,\,\left( {t \in \left[ {1;7} \right]} \right)\) \( \Rightarrow P = \dfrac{{{t^2} + 2t + 10}}{{t + 1}}\), \(t \in \left[ {1;7} \right]\).

Ta có: \(P' = \dfrac{{{t^2} + 2t - 8}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 \in \left[ {1;7} \right]\\y = - 4 \notin \left[ {1;7} \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(P\left( 1 \right) = \dfrac{{13}}{2},\,\,P\left( 2 \right) = 6,\,\,P\left( 7 \right) = \dfrac{{73}}{8}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;7} \right]} P = P\left( 7 \right) = \dfrac{{73}}{8}\\M = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;7} \right]} P = P\left( 2 \right) = 6\end{array} \right.\).

Vậy \(T = 8M + m = 8.\dfrac{{73}}{8} + 6 = 79\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.