Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho điểm \(M\left( {3;0;4} \right)\) và mặt cầu \(\left( S
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho điểm \(M\left( {3;0;4} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 9\). Qua điểm \(M\) vẽ \(3\) tia \(Mu,Mv,Mw\) đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\). Gọi \(E\) là đỉnh đối diện với đỉnh \(M\) của hình hộp chữ nhật có \(3\) cạnh là \(MA,MB,MC\). Biết điểm \(E\) luôn thuộc một mặt cầu cố định khi \(3\) tia \(Mu,Mv,Mw\) thay đổi thỏa mãn đề bài, tính bán kính mặt cầu đó.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sưu tầm nhóm GV Toán Việt Nam
Mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Gọi \(G\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {ME} \\\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 3\overrightarrow {IG} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9M{G^2} = 9{\overrightarrow {MG} ^2}{\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}9I{G^2} = 9{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + 2\left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}} \right) - {\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}} \right) - \left( {A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}} \right) - 2\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow 9I{G^2} - 9{R^2} - 18M{G^2} \Leftrightarrow I{G^2} + 2M{G^2} = 9\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} + 2\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {z - 4} \right)}^2}} \right] = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \dfrac{{11}}{9}\end{array}\)
\( \Rightarrow G\) thuộc mặt cầu tâm \({I_1}\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3};4} \right)\), bán kính \({R_1} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{3}\).
Mà \(\overrightarrow {M{I_1}} = \left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3};0} \right),\,\,\overrightarrow {ME} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow \overrightarrow {MI} = 3\overrightarrow {M{I_1}} \)
\( \Rightarrow I,\,\,E\) lần lượt là ảnh của \({I_1}\), \(G\) qua phép vị tự tâm \(M\), tỉ số \(k = 3\).
Vậy \(E\) thuộc mặt cầu tâm \(I\), bán kính \({R_2} = \sqrt {11} \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
