Trong mặt phẳng với hệ trục \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(I\). Gọi \(G\left( {1;\,\, - 2}
Trong mặt phẳng với hệ trục \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(I\). Gọi \(G\left( {1;\,\, - 2} \right)\) và \(K\left( {3;\,\,1} \right)\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ACD\) và \(ABI\), biết \(A\left( {a;\,\,b} \right)\) với \(b > 0\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(M,\,\,N\) và \(P\) lần lượt là các trung điểm của \(AB,\,\,CD\) và \(BI\).
Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = 0\\A{K^2} = G{K^2}\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AP} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\(\overrightarrow {KG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AK} \,\,.\,\,\overrightarrow {KG} = \dfrac{1}{{12}}A{D^2} - \dfrac{1}{{12}}A{B^2} = 0\) (1) vì \(AB = AD\) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)
\(A{K^2} = \dfrac{5}{{18}}A{B^2}\) và \(K{G^2} = \dfrac{5}{{18}}A{B^2}\)
\( \Rightarrow A{K^2} = K{G^2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = 0\\A{K^2} = G{K^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 9\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{9 - 2a}}{3}\\13{a^2} - 78a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{9 - 2a}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9\)
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
