Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(1 + \overline z = {\left| {\overline z - i} \right|^2} + {\left( {iz -

Câu hỏi số 497393:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(1 + \overline z = {\left| {\overline z - i} \right|^2} + {\left( {iz - 1} \right)^2}\) và \(z\) có phần thực dương. Tính môđun của số phức \(z\).

A. \(\sqrt 5 \)

B. \(5\)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497393

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,1 + \overline z = {\left| {\overline z - i} \right|^2} + {\left( {iz - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 + \overline z = {\left| {\overline z - i} \right|^2} - {z^2} - 2iz + 1\\ \Leftrightarrow \overline z = {\left| {\overline z - i} \right|^2} - {z^2} - 2iz\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a - bi = {\left| {a - bi - i} \right|^2} - {\left( {a + bi} \right)^2} - 2i\left( {a + bi} \right)\\ \Leftrightarrow a - bi = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} - {a^2} - 2abi + {b^2} - 2ai + 2b\\ \Leftrightarrow a - bi = {a^2} + {b^2} + 2b + 1 - {a^2} - 2abi + {b^2} - 2ai + 2b\\ \Leftrightarrow a - bi = 2{b^2} + 4b + 1 - 2abi - 2ai\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2{b^2} + 4b + 1\\b = 2ab + 2a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2{b^2} + 4b + 1\\b = 2\left( {2{b^2} + 4b + 1} \right)b + 2\left( {2{b^2} + 4b + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2{b^2} + 4b + 1\\b = 4{b^3} + 8{b^2} + 2b + 4{b^2} + 8b + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2{b^2} + 4b + 1\\4{b^3} + 12{b^2} + 9b + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2{b^2} + 4b + 1\\\left[ \begin{array}{l}b = - 2\\b = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 2;\,\,a = 1\\b = - \dfrac{1}{2};\,\,a = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(z\) có phần thực dương \( \Rightarrow z = 1 - 2i\).

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.