Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z =

Câu hỏi số 497741:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.\) và hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\Delta \) sao cho \(P = MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó.

A. \(\dfrac{{\sqrt {22} - \sqrt 6 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {22} + \sqrt 6 }}{2}\)

C. \(\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{\sqrt {11} - \sqrt 6 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497741

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {1 + t;1 + t;0} \right) \in \Delta \) ta có:

\(\begin{array}{l}P = MA + MB\\P = \sqrt {{t^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + 1} \\P = \sqrt {2{t^2} + 2t + 2} + \sqrt {2{t^2} + 2t + 6} \end{array}\)

Đặt \(t = 2{t^2} + 2t + 4 = 2\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 2\left( {{t^2} + 2t.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}} \right)\) \( = 2\left[ {{{\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{7}{4}} \right] \ge \dfrac{7}{2}\)

Khi đó ta có \(P = \sqrt {t - 2} + \sqrt {t + 2} \,\,\left( {t \ge \dfrac{7}{2}} \right)\).

Ta có \(P' = \dfrac{1}{{2\sqrt {t - 2} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {t + 2} }} > 0\,\,\forall t \ge \dfrac{7}{2}\) nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {\dfrac{7}{2}; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = P\left( {\dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {22} + \sqrt 6 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.