Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \({d_1}\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z -

Câu hỏi số 497744:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \({d_1}\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\), \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 3}}{2}\), \({d_3} = \dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,ax + by + cz + 17 = 0\) (với \(a,\,\,b\) là các số nguyên, \(a > 0\)) đi qua điểm \(M\left( { - 2;3; - 4} \right)\) và cắt ba đường thẳng trên lần lượt tại ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho tam giác \(ABC\) đều. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

A. \(\left( { - 3;1; - 1} \right)\)

B. \(\left( { - 3;1;1} \right)\)

C. \(\left( { - 3;0;1} \right)\)

D. \(\left( { - 3; - 1;1} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497744

Giải chi tiết

Tham khảo FB Lam Vu

Kiểm tra thấy \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) đôi một vuông góc với nhau và đồng quy tại điểm \(S\left( {1;1;1} \right)\).

Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AB = BC = CA \Rightarrow S{A^2} + S{B^2} = S{B^2} + S{C^2} = S{C^2} + S{A^2}\).

\( \Rightarrow SA = SB = SC\).

\( \Rightarrow \) \(S.ABC\) là chóp tam giác đều.

Gọi \(N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt thuộc \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) sao cho \(SN = SP = SQ = 3\).

\( \Rightarrow \left( {NPQ} \right)//\left( {ABC} \right)\).

Ta tìm được các điểm \(N,\,\,P,\,\,Q\) thỏa mãn là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{N_1}\left( {3;3;2} \right)\\{N_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{P_1}\left( {2; - 1;3} \right)\\{P_2}\left( {0;3; - 1} \right)\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{Q_1}\left( {3;0; - 1} \right)\\{Q_2}\left( { - 1;2;3} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {MS} = \left( {3; - 2;5} \right)\), mặt phẳng đi qua \(S\) và vuông góc với \(MS\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):\,\,3x - 2y + 5z - 6 = 0\)

+ Nếu \(M\) nằm ở miền trong \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow N,\,\,P,\,\,Q,\,\,M\) nằm cùng phía so với \(\left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow {N_2},\,\,{P_2},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn.

\( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;1;5} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + 5z + 19 = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).

+ Nếu \(M\) nằm ở miền ngoài \(\Delta ABC\) thì trong 3 điểm \(N,\,\,P,\,\,Q\) có 1 điểm nằm cùng phía và 2 điểm nằm khác phía \(M\) so với \(\left( \alpha \right)\).

TH1: \({N_1},\,\,{P_2},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y - z + 3 = 0\) (ktm).

TH2: \({N_2},\,\,{P_1},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1; - 5; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x - 5y - z + 13 = 0\) (ktm).

TH3: \({N_2},\,\,{P_2},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {5; - 1;1} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(5x - y + z + 17 = 0\) (tm).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.