Cho hình chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thang vuông tại \(A\), \(B\) ,biết \(AB = BC = 2a\),

Câu hỏi số 497760:

Vận dụng

Cho hình chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thang vuông tại \(A\), \(B\) ,biết \(AB = BC = 2a\), \(AD = 3a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mp đáy là điểm \(H\) thuộc \(AB\) với \(AH = \dfrac{1}{2}HB\). Biết \(SH = \dfrac{{16\sqrt {15} }}{{15}}a\) . Tính góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

A. \({60^o}\)

B. \({90^o}\)

C. \({45^o}\)

D. \({30^o}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497760

Phương pháp giải

- Bước 1: xác định giao tuyến chung \(CD\)

- Bước 2: Xác định 1 mặt phẳng \( \bot CD\)

- Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng đó là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Ta có: \(SH \bot CD\)

Kẻ \(HK \bot CD\) (việc xác định vị trí của điểm \(K\) ta nên phẳng hóa đáy \(ABCD\) theo hình học phẳng)

\( \Rightarrow \left( {SHK} \right) \bot CD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SHK} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SK\\\left( {SHK} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = HK\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH\)

* Tính \(\angle SKH\) trong \(\Delta SHK\) vuông tại \(H\) có:

+) \(SH = \dfrac{{16\sqrt {15} }}{{15}}a\)

+) Tính \(HK\) (\(HK\) là chiều cao của \(\Delta CDH\))

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{2S{}_{\Delta CDH}}}{{CD}} = 2.\dfrac{{S{}_{ABCD} - S{}_{\Delta BCH} - S{}_{\Delta ADH}}}{{CD}}\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {BC + AD} \right).AB}}{2} = \dfrac{{\left( {2a + 3a} \right).2a}}{2} = 5{a^2}\\{S_{\Delta BCH}} = \dfrac{1}{2}BC.BH = \dfrac{1}{2}.2a.\dfrac{4}{3}a = \dfrac{4}{3}{a^2}\\{S_{\Delta ADH}} = \dfrac{1}{2}AD.AH = \dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{2}{3}a = {a^2}\\CD = \sqrt {C{E^2} + E{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow HK = 2.\dfrac{{5{a^2} - \dfrac{4}{3}{a^2} - {a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{16\sqrt {15} }}{{15}}\)

+) \(SH = \dfrac{{16\sqrt {15} }}{{15}}a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \angle SKH = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{\dfrac{{16\sqrt {15} }}{{15}}a}}{{\dfrac{{16\sqrt 5 }}{{15}}a}} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow \angle SKH = {60^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\widehat {SCD;ABCD}} \right) = {60^0}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.