Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c}

Câu hỏi số 497913:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 4\). Biết khi \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi thì tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) thuộc một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cố định. Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497913

Phương pháp giải

- Xác định tâm mặt cầu là giao điểm của trục của mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và trung trực của \(OC\).

- Tìm tọa độ tâm mặt cầu, từ đó suy ra mặt phẳng cố định chứa tâm mặt cầu.

- Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};0} \right)\).

Vì \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{a}{2}\\y = \dfrac{b}{2}\\z = t\end{array} \right.\).

Dựng \(Mt\) là trung trực của \(OC\) cắt \(d\) tại \(I\) \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};t} \right)\).

Vì \(IO = IC \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + {t^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + {\left( {t - c} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = t - c\\t = - t + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\,\,\left( {Loai} \right)\\t = \dfrac{c}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}} \right)\).

Ta có \({x_I} + {y_I} + {z_I} = \dfrac{{a + b + c}}{2} = 2\) nên \(I \in \left( P \right):\,\,x + y + z - 2 = 0\) cố định.

Vậy \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2 + 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.