Tùy vào \(m\) hãy tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P\left( {x;\,\,y} \right) =

Câu hỏi số 502272:

Vận dụng cao

Tùy vào \(m\) hãy tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x + 2my + 1} \right)^2} + {\left( {mx + 2y} \right)^2}\)

A. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 2,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).

B. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 1\).

C. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = - 1,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0\).

D. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502272

Phương pháp giải

Chứng minh \(P\left( {x;\,\,y} \right) \ge 0\) và tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. Từ đó tìm được giá trị của \(m\). Thay vào biểu thức \(P\) để tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có:

\(P\left( {x;\,\,y} \right) \ge 0\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2my + 1 = 0}\\{mx + 2y = 0}\end{array}} \right.\) (*)

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{2m}\\m&2\end{array}} \right| = 2 - 2{m^2}\)

Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow 2 - 2{m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\) thì hệ phương trình (*) có nghiệm do đó \(\min P\left( {x;y} \right) = 0\) .

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\)

Với \(m = 1\) ta có \(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2y} \right)^2} = 2{\left( {x + 2y} \right)^2} + 2\left( {x + 2y} \right) + 1\).

\( \Rightarrow P\left( {x;\,\,y} \right) = 2{\left( {x + 2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x + 2y + \dfrac{1}{2} = 0\)

Với \(m = - 1\) ta có \(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - x + 2y} \right)^2} = 2{\left( {x - 2y} \right)^2} + 2\left( {x - 2y} \right) + 1\).

\( \Rightarrow P\left( {x;\,\,y} \right) = 2{\left( {x - 2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x - 2y + \dfrac{1}{2} = 0\).

Vậy \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0\), \(m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10