Tùy vào \(m\) hãy tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P\left( {x;\,\,y} \right) =

Câu hỏi số 502272:

Vận dụng cao

Tùy vào \(m\) hãy tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x + 2my + 1} \right)^2} + {\left( {mx + 2y} \right)^2}\)

A. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 2,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).

B. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 1\).

C. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = - 1,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0\).

D. \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0,\,\,m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502272

Phương pháp giải

Chứng minh \(P\left( {x;\,\,y} \right) \ge 0\) và tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. Từ đó tìm được giá trị của \(m\). Thay vào biểu thức \(P\) để tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có:

\(P\left( {x;\,\,y} \right) \ge 0\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2my + 1 = 0}\\{mx + 2y = 0}\end{array}} \right.\) (*)

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{2m}\\m&2\end{array}} \right| = 2 - 2{m^2}\)

Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow 2 - 2{m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\) thì hệ phương trình (*) có nghiệm do đó \(\min P\left( {x;y} \right) = 0\) .

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\)

Với \(m = 1\) ta có \(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2y} \right)^2} = 2{\left( {x + 2y} \right)^2} + 2\left( {x + 2y} \right) + 1\).

\( \Rightarrow P\left( {x;\,\,y} \right) = 2{\left( {x + 2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x + 2y + \dfrac{1}{2} = 0\)

Với \(m = - 1\) ta có \(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - x + 2y} \right)^2} = 2{\left( {x - 2y} \right)^2} + 2\left( {x - 2y} \right) + 1\).

\( \Rightarrow P\left( {x;\,\,y} \right) = 2{\left( {x - 2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x - 2y + \dfrac{1}{2} = 0\).

Vậy \(m \ne \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0\), \(m = \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.