Tìm \(m\) để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = m + 6\\2x + xy + 2y = m\end{array}

Câu hỏi số 502306:

Vận dụng

Tìm \(m\) để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = m + 6\\2x + xy + 2y = m\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m = 21\)

B. \(m = 12\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502306

Phương pháp giải

Giả sử hệ phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) khi đó \(\left( {{y_0};\,\,{x_0}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \({x_0} = {y_0}\).

Giải chi tiết

Giả sử hệ phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) khi đó \(\left( {{y_0};\,\,{x_0}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \({x_0} = {y_0}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 = m + 6\\x_0^2 + 4{x_0} = m\end{array} \right. \Rightarrow 3x_0^2 = x_0^2 + 4{x_0} + 6\)

\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 4{x_0} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = - 1 \Rightarrow m = - 3}\\{{x_0} = 3 \Rightarrow m = 21}\end{array}} \right.\)

+ Với \(m = - 3\) hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\2\left( {x + y} \right) + xy = - 3\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = x + y}\\{P = xy}\end{array}} \right.\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\), hệ phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} - P = 3}\\{2{\rm{S}} + P = - 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} + 2{\rm{S}} = 0}\\{P = - 2{\rm{S}} - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 0}\\{S = - 2}\end{array}} \right.}\\{P = - 2{\rm{S}} - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 0}\\{P = - 3}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = - 2}\\{P = 1}\end{array}} \right.\)

Khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 0}\\{P = - 3}\end{array}} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\xy = 1\end{array} \right.\) suy ra \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = \sqrt 3 }\\{X = - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Do đó hệ có nghiệm là \(\left( {\sqrt 3 ;\,\, - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(m = - 3\) thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất..

+ Với \(m = 21\) hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 27\\2x + xy + 2y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - xy = 27\\2\left( {x + y} \right) + xy = 21\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S^2} + 2S - 48 = 0}\\{P = - 2S + 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 6}\\{S = - 8}\end{array}} \right.}\\{P = - 2S + 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 6}\\{P = 9}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = - 8}\\{P = 37}\end{array}} \right.\)(loại)

Khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = 6}\\{P = 9}\end{array}} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 9\end{array} \right.\) suy ra \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 6X + 9 = 0 \Leftrightarrow X = 3\)

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,3} \right)\)

Vậy với \(m = 21\) thì hệ có nghiệm duy nhất.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.