Cho phương trình: \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0\) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của

Câu hỏi số 502573:

Thông hiểu

Cho phương trình: \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0\)

Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2}\) có giá trị nhỏ nhất.

A. \(m \in \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\)

B. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right\}\)

C. \(m \in \left\{ { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)

\(m \in \left\{ {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502573

Phương pháp giải

Đề bài cho phương trình có hai nghiệm nên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) nếu:

\(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m = 4{m^2} - 8m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 3\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m + 1\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\) (*)

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra:

\(A = {\left( { - 2m + 1} \right)^2} - 4m = 4{m^2} - 8m + 1 = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 3 \ge 3 - 3 = 0\) do \(4{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 3\).

Vậy \(\min A = 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {m_{1,2}} = 1 \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10